<?xml version="1.0"?>
<div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c1">AS</font> be   <a href="diraf.html#NM1" title="DIRAF:NM.1">AffinSpace</a>;<br/><b>let </b><font color="Maroon" title="c2">a</font>, <font color="Maroon" title="c3">b</font>, <font color="Maroon" title="c4">c</font>, <font color="Maroon" title="c5">d</font>, <font color="Maroon" title="c6">p</font> be   <a href="incsp_1.html#NM1" title="INCSP_1:NM.1">POINT</a> of <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K13" title="AFPROJ:func.13">IncProjSp_of</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>;<br/><b>let </b><font color="Maroon" title="c7">M</font>, <font color="Maroon" title="c8">N</font>, <font color="Maroon" title="c9">P</font>, <font color="Maroon" title="c10">Q</font> be   <a href="incsp_1.html#NM2" title="INCSP_1:NM.2">LINE</a> of <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K13" title="AFPROJ:func.13">IncProjSp_of</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>;<br/>



















<b>assume </b><b>that </b><br/><a NAME="E1:61"/><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c2">a</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c7">M</font> &amp; <font color="Maroon" title="c3">b</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c7">M</font> &amp; <font color="Maroon" title="c4">c</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c8">N</font> &amp; <font color="Maroon" title="c5">d</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c8">N</font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E2:61"/><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c6">p</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c7">M</font> &amp; <font color="Maroon" title="c6">p</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c8">N</font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E3:61"/><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c2">a</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; <font color="Maroon" title="c4">c</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; <font color="Maroon" title="c3">b</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> &amp; <font color="Maroon" title="c5">d</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E4:61"/><i><font color="Green" title="E53">A4</font></i>: 
( not <font color="Maroon" title="c6">p</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; not <font color="Maroon" title="c6">p</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E5:61"/><i><font color="Green" title="E54">A5</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c7">M</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> <font color="Maroon" title="c8">N</font>
 <b>and </b><br/><a NAME="E6:61"/><i><font color="Green" title="E55">A6</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c6">p</font> is  not   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 <b>and </b><br/><a NAME="E7:61"/><i><font color="Green" title="E56">A7</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c2">a</font> is   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 ;<br/>

<b>consider </b><font color="Maroon" title="c11">X</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E9:61"/><i><font color="Green" title="E57">A8</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c6">p</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c11">X</font>
 <b>and </b><br/><a NAME="E10:61"/><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a> 
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E6:61"><i><font color="Green" title="E55">A6</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T20" target="_self" title="AFPROJ:th.20">Th20</a></i>;<br/>
<a NAME="E11:61"/><i><font color="Green" title="E59">A10</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c2">a</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> <font color="Maroon" title="c4">c</font> &amp; <font color="Maroon" title="c3">b</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> <font color="Maroon" title="c5">d</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E4:61"><i><font color="Green" title="E53">A4</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E5:61"><i><font color="Green" title="E54">A5</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E56"><i><font color="Green" title="E38">Lm2</font></i></a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c12">XM</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E13:61"/><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i>: 
( ( <font color="Maroon" title="c7">M</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><font color="Maroon" title="c12">XM</font>,1</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  ) or ( <font color="Maroon" title="c7">M</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="afproj.html#K6" title="AFPROJ:func.6">PDir</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font></span>)</span>,2</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a>  ) )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="afproj.html#T23" target="_self" title="AFPROJ:th.23">Th23</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c13">XN</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E15:61"/><i><font color="Green" title="E61">A12</font></i>: 
( ( <font color="Maroon" title="c8">N</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><font color="Maroon" title="c13">XN</font>,1</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  ) or ( <font color="Maroon" title="c8">N</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="afproj.html#K6" title="AFPROJ:func.6">PDir</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font></span>)</span>,2</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a>  ) )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="afproj.html#T23" target="_self" title="AFPROJ:th.23">Th23</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c14">XP</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E17:61"/><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i>: 
( ( <font color="Maroon" title="c9">P</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><font color="Maroon" title="c14">XP</font>,1</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  ) or ( <font color="Maroon" title="c9">P</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="afproj.html#K6" title="AFPROJ:func.6">PDir</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font></span>)</span>,2</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a>  ) )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="afproj.html#T23" target="_self" title="AFPROJ:th.23">Th23</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c15">XQ</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E19:61"/><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i>: 
( ( <font color="Maroon" title="c10">Q</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><font color="Maroon" title="c15">XQ</font>,1</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  ) or ( <font color="Maroon" title="c10">Q</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="afproj.html#K6" title="AFPROJ:func.6">PDir</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font></span>)</span>,2</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a>  ) )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="afproj.html#T23" target="_self" title="AFPROJ:th.23">Th23</a></i>;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c16">x</font> = <font color="Maroon" title="c2">a</font> as   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font> <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E7:61"><i><font color="Green" title="E56">A7</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E21:61"/><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c16">x</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">a</font>
 
;<br/>
<a NAME="E22:61"/><i><font color="Green" title="E65">A16</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c16">x</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font> &amp; <font color="Maroon" title="c16">x</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T26" target="_self" title="AFPROJ:th.26">Th26</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/>
<b>then consider </b><font color="Maroon" title="c17">Y</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E24:61"/><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font> &amp; <font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E25:61"/><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c17">Y</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a> 
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T38" title="AFF_4:th.38">AFF_4:38</a></i>;<br/>
<a NAME="E26:61"/><i><font color="Green" title="E68">A19</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font> &amp; <font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T42" title="AFF_4:th.42">AFF_4:42</a></i>;<br/>
<a NAME="E27:61"/><i><font color="Green" title="E69">A20</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E9:61"><i><font color="Green" title="E57">A8</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:61"><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T28" target="_self" title="AFPROJ:th.28">Th28</a></i>;<br/>
<a NAME="E28:61"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E70">A21</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:61"><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/>
<a NAME="E29:61"/><i><font color="Green" title="E71">A22</font></i>: 
not <font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E4:61"><i><font color="Green" title="E53">A4</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E22:61"><i><font color="Green" title="E65">A16</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T59" title="AFF_1:th.59">AFF_1:59</a></i>;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c18">y</font> = <font color="Maroon" title="c3">b</font> as   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font> <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E4:61"><i><font color="Green" title="E53">A4</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E6:61"><i><font color="Green" title="E55">A6</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T35" target="_self" title="AFPROJ:th.35">Th35</a></i>;<br/>
<a NAME="E31:61"/><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c18">y</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">b</font>
 
;<br/>
<a NAME="E32:61"/><i><font color="Green" title="E73">A24</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c18">y</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> &amp; <font color="Maroon" title="c18">y</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T26" target="_self" title="AFPROJ:th.26">Th26</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/>
<div><i><font color="Green" title="E74">A25</font></i>: <a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:61_1"/><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c8">N</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><font color="Maroon" title="c13">XN</font>,1</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  )
 ;<br/><a NAME="E2:61_1"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E76">A27</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E9:61"><i><font color="Green" title="E57">A8</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:61"><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T28" target="_self" title="AFPROJ:th.28">Th28</a></i>;<br/><a NAME="E3:61_1"/><i><font color="Green" title="E77">A28</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<a NAME="E1:61_1_1"/>
( <font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font> &amp; <font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:61"><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E27:61"><i><font color="Green" title="E69">A20</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61_1"><i><font color="Green" title="E76">A27</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E2:61_1_1"/>
<font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <b>by </b><i><a class="ref" href="aff_1.html#T58" title="AFF_1:th.58">AFF_1:58</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><a NAME="E4:61_1"/>
<font color="Maroon" title="c4">c</font> is   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1_2"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>assume </b><a NAME="E1:61_1_2"/>
<font color="Maroon" title="c4">c</font> is  not   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 ;<br/>

<a NAME="E2:61_1_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c4">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T34" target="_self" title="AFPROJ:th.34">Th34</a></i>;<br/>
<a NAME="E3:61_1_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T28" target="_self" title="AFPROJ:th.28">Th28</a></i>;<br/>
<a NAME="E4:61_1_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E5:61_1_2"/>
contradiction
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E29:61"><i><font color="Green" title="E71">A22</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61_1"><i><font color="Green" title="E77">A28</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58" title="AFF_1:th.58">AFF_1:58</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><b>then reconsider </b><font color="Maroon" title="c19">z</font> = <font color="Maroon" title="c4">c</font> as   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font> ;<br/><a NAME="E6:61_1"/><i><font color="Green" title="E78">A29</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c19">z</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font> &amp; <font color="Maroon" title="c19">z</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T26" target="_self" title="AFPROJ:th.26">Th26</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/><a NAME="E7:61_1"/><i><font color="Green" title="E79">A30</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1_3"><b>proof </b></a><div class="add">

<a NAME="E1:61_1_3"/>
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c19">z</font> <a href="aff_4.html#K2" title="AFF_4:func.2">*</a> <font color="Maroon" title="c12">XM</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61_1"><i><font color="Green" title="E77">A28</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E6:61_1"><i><font color="Green" title="E78">A29</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#D3" title="AFF_4:def.3">AFF_4:def 3</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E2:61_1_3"/>
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E6:61_1"><i><font color="Green" title="E78">A29</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T28" title="AFF_4:th.28">AFF_4:28</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><a NAME="E8:61_1"/><i><font color="Green" title="E80">A31</font></i>: 
not <font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1_4"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>assume </b><a NAME="E1:61_1_4"/>
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font>
 ;<br/>

<a NAME="E2:61_1_4"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61_1"><i><font color="Green" title="E77">A28</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58" title="AFF_1:th.58">AFF_1:58</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E3:61_1_4"/>
contradiction
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E4:61"><i><font color="Green" title="E53">A4</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E32:61"><i><font color="Green" title="E73">A24</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T59" title="AFF_1:th.59">AFF_1:59</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_1_5"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:61_1_5"/>
<font color="Maroon" title="c5">d</font> is  not   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 ;<br/><b>then consider </b><font color="Maroon" title="c20">Xd</font> being   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font><b> such that </b><br/><a NAME="E3:61_1_5"/><i><font color="Green" title="E81">A32</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c5">d</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> &amp; <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="afproj.html#T20" target="_self" title="AFPROJ:th.20">Th20</a></i>;<br/><a NAME="E4:61_1_5"/>
( <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font> &amp; <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61_1_5"><i><font color="Green" title="E81">A32</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T28" target="_self" title="AFPROJ:th.28">Th28</a></i>;<br/><a NAME="E5:61_1_5"/><b>then </b>
( <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font> &amp; <font color="Maroon" title="c20">Xd</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61_1_5"><i><font color="Green" title="E81">A32</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/><b>hence </b><a NAME="E6:61_1_5"/>
contradiction
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E8:61_1"><i><font color="Green" title="E80">A31</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58" title="AFF_1:th.58">AFF_1:58</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div><b>then reconsider </b><font color="Maroon" title="c20">w</font> = <font color="Maroon" title="c5">d</font> as   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font> ;<br/><a NAME="E11:61_1"/><i><font color="Green" title="E81">A33</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c20">w</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font> &amp; <font color="Maroon" title="c20">w</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_1"><i><font color="Green" title="E75">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T26" target="_self" title="AFPROJ:th.26">Th26</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/><a NAME="E12:61_1"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="aff_1.html#K2" title="AFF_1:func.2">Line</a> <font color="Maroon" title="c18">y</font>,<font color="Maroon" title="c20">w</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E11:61"><i><font color="Green" title="E59">A10</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E32:61"><i><font color="Green" title="E73">A24</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T71" title="AFF_1:th.71">AFF_1:71</a></i>;<br/><a NAME="E13:61_1"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E11:61"><i><font color="Green" title="E59">A10</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E32:61"><i><font color="Green" title="E73">A24</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E7:61_1"><i><font color="Green" title="E79">A30</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E11:61_1"><i><font color="Green" title="E81">A33</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T19" title="AFF_4:th.19">AFF_4:19</a></i>;<br/><b>hence </b><a NAME="E14:61_1"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">q</font> being  <a href="incsp_1.html#NM1" title="INCSP_1:NM.1">POINT</a> of <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K13" title="AFPROJ:func.13">IncProjSp_of</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span> st <br/>( <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T43" target="_self" title="AFPROJ:th.43">Th43</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div>
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_2"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:61_2"/><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c8">N</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1"><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">[</a><span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="afproj.html#K6" title="AFPROJ:func.6">PDir</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font></span>)</span>,2</span><a href="tarski.html#K4" title="TARSKI:func.4">]</a></span> &amp; <font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_4.html#NR1" title="AFF_4:NR.1">is_plane</a>  )
 ;<br/><a NAME="E2:61_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c11">X</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E2:61"><i><font color="Green" title="E51">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E9:61"><i><font color="Green" title="E57">A8</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:61"><i><font color="Green" title="E58">A9</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T29" target="_self" title="AFPROJ:th.29">Th29</a></i>;<br/><a NAME="E3:61_2"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E76">A35</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c12">XM</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E28:61"><i><font color="Green" title="E70">A21</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T56" title="AFF_4:th.56">AFF_4:56</a></i>;<br/><a NAME="E4:61_2"/>
<font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_2_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<a NAME="E1:61_2_1"/>
<font color="Maroon" title="c4">c</font> is  not   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/>
<a NAME="E2:61_2_1"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c4">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c14">XP</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T34" target="_self" title="AFPROJ:th.34">Th34</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E3:61_2_1"/>
<font color="Maroon" title="c14">XP</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T29" target="_self" title="AFPROJ:th.29">Th29</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><a NAME="E5:61_2"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E77">A36</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c13">XN</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E13:61"><i><font color="Green" title="E60">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E26:61"><i><font color="Green" title="E68">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E29:61"><i><font color="Green" title="E71">A22</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61_2"><i><font color="Green" title="E76">A35</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T5" target="_self" title="AFPROJ:th.5">Th5</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/><a NAME="E6:61_2"/>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="61_2_2"><b>proof </b></a><div class="add">

<a NAME="E1:61_2_2"/>
<font color="Maroon" title="c5">d</font> is  not   <a href="struct_0.html#NM1" title="STRUCT_0:NM.1">Element</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a></i>;<br/>
<a NAME="E2:61_2_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c5">d</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c15">XQ</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T34" target="_self" title="AFPROJ:th.34">Th34</a></i>;<br/>
<a NAME="E3:61_2_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c13">XN</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61"><i><font color="Green" title="E50">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T29" target="_self" title="AFPROJ:th.29">Th29</a></i>;<br/>
<a NAME="E4:61_2_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:61_2"><i><font color="Green" title="E75">A34</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E5:61_2"><i><font color="Green" title="E77">A36</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T59" title="AFF_4:th.59">AFF_4:59</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T60" title="AFF_4:th.60">AFF_4:60</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E5:61_2_2"/>
<font color="Maroon" title="c15">XQ</font> <a href="tarski.html#R1" title="TARSKI:pred.1">c=</a> <font color="Maroon" title="c17">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E32:61"><i><font color="Green" title="E73">A24</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T43" title="AFF_4:th.43">AFF_4:43</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><b>hence </b><a NAME="E7:61_2"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">q</font> being  <a href="incsp_1.html#NM1" title="INCSP_1:NM.1">POINT</a> of <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K13" title="AFPROJ:func.13">IncProjSp_of</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span> st <br/>( <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:61"><i><font color="Green" title="E52">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E17:61"><i><font color="Green" title="E62">A13</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E19:61"><i><font color="Green" title="E63">A14</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E21:61"><i><font color="Green" title="E64">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E24:61"><i><font color="Green" title="E66">A17</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E25:61"><i><font color="Green" title="E67">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E31:61"><i><font color="Green" title="E72">A23</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T27" target="_self" title="AFPROJ:th.27">Th27</a>, <a class="ref" href="afproj.html#T43" target="_self" title="AFPROJ:th.43">Th43</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div>
<b>hence </b><a NAME="E35:61"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">q</font> being  <a href="incsp_1.html#NM1" title="INCSP_1:NM.1">POINT</a> of <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K13" title="AFPROJ:func.13">IncProjSp_of</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span> st <br/>( <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c9">P</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">q</font> <a href="incsp_1.html#R1" title="INCSP_1:pred.1">on</a> <font color="Maroon" title="c10">Q</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E15:61"><i><font color="Green" title="E61">A12</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E33:61"><i><font color="Green" title="E74">A25</font></i></a></i>;<br/>


</div>
