<?xml version="1.0"?>
<div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c1">AS</font> be   <a href="diraf.html#NM1" title="DIRAF:NM.1">AffinSpace</a>;<br/><b>let </b><font color="Maroon" title="c2">X</font>, <font color="Maroon" title="c3">Y</font> be   <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font>;<br/>





<b>assume </b><a NAME="E1:15"/><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  &amp; <font color="Maroon" title="c3">Y</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  )
 ;<br/>

<a NAME="E2:15"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E12">A2</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c3">Y</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="afproj.html#K1" title="AFPROJ:func.1">AfLines</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font> &amp; <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="afproj.html#K1" title="AFPROJ:func.1">AfLines</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font> )
 
;<br/>
<a NAME="E3:15"/><i><font color="Green" title="E13">A3</font></i>: 
(  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="eqrel_1.html#K6" title="EQREL_1:func.6">Class</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K3" title="AFPROJ:func.3">LinesParallelity</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>,<font color="Maroon" title="c2">X</font> &amp;  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="eqrel_1.html#K6" title="EQREL_1:func.6">Class</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K3" title="AFPROJ:func.3">LinesParallelity</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>,<font color="Maroon" title="c3">Y</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:15"><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#D5" target="_self" title="AFPROJ:def.5">Def5</a></i>;<br/>
<div><i><font color="Green" title="E14">A4</font></i>: <a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="15_1"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:15_1"/>
 <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 ;<br/><a NAME="E2:15_1"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="eqrel_1.html#K6" title="EQREL_1:func.6">Class</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K3" title="AFPROJ:func.3">LinesParallelity</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>,<font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E2:15"><i><font color="Green" title="E12">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:15"><i><font color="Green" title="E13">A3</font></i></a>, <a class="ref" href="eqrel_1.html#T31" title="EQREL_1:th.31">EQREL_1:31</a></i>;<br/><a NAME="E3:15_1"/><b>then </b>
 ex <font color="Olive" title="b1">Y'</font> being  <a href="struct_0.html#NM2" title="STRUCT_0:NM.2">Subset</a> of <font color="Maroon" title="c1">AS</font> st <br/>( <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Olive" title="b1">Y'</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">Y'</font> <a href="aff_1.html#NR2" title="AFF_1:NR.2">is_line</a>  &amp; <font color="Maroon" title="c3">Y</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Olive" title="b1">Y'</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:15"><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:15"><i><font color="Green" title="E13">A3</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T9" target="_self" title="AFPROJ:th.9">Th9</a></i>;<br/><b>hence </b><a NAME="E4:15_1"/>
<font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:15"><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div>
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="15_2"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:15_2"/>
<font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 ;<br/><a NAME="E2:15_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="aff_4.html#R1" title="AFF_4:pred.1">'||'</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:15"><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T40" title="AFF_4:th.40">AFF_4:40</a></i>;<br/><a NAME="E3:15_2"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c3">Y</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="eqrel_1.html#K6" title="EQREL_1:func.6">Class</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="afproj.html#K3" title="AFPROJ:func.3">LinesParallelity</a> <font color="Maroon" title="c1">AS</font></span>)</span>,<font color="Maroon" title="c2">X</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:15"><i><font color="Green" title="E11">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:15"><i><font color="Green" title="E13">A3</font></i></a>, <a class="ref" href="afproj.html#T9" target="_self" title="AFPROJ:th.9">Th9</a></i>;<br/><b>hence </b><a NAME="E4:15_2"/>
 <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E2:15"><i><font color="Green" title="E12">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:15"><i><font color="Green" title="E13">A3</font></i></a>, <a class="ref" href="eqrel_1.html#T31" title="EQREL_1:th.31">EQREL_1:31</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div>
<b>hence </b><a NAME="E6:15"/>
(  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afproj.html#K5" title="AFPROJ:func.5">LDir</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font> iff <font color="Maroon" title="c2">X</font> <a href="aff_1.html#R4" title="AFF_1:pred.4">//</a> <font color="Maroon" title="c3">Y</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E4:15"><i><font color="Green" title="E14">A4</font></i></a></i>;<br/>


</div>
