<?xml version="1.0"?>
<div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c1">a</font>, <font color="Maroon" title="c2">b</font> be  non <a href="xboole_0.html#V1" title="XBOOLE_0:attr.1">empty</a> <a href="afinsq_1.html#NM2" title="AFINSQ_1:NM.2">XFinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a> ;<br/><b>let </b><font color="Maroon" title="c3">m</font> be   <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>;<br/>



<b>assume </b><a NAME="E1:27"/><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 is   <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a> &amp;  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> &amp;  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> &amp; <font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; 0 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="xxreal_0.html#NR3" title="XXREAL_0:NR.3">&lt;</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> )
 ;<br/>

<a NAME="E2:27"/><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#T1" target="_self" title="PRGCOR_2:th.1">Th1</a></i>;<br/>
<a NAME="E3:27"/><i><font color="Green" title="E20">A3</font></i>: 
0 <a href="xxreal_0.html#NR3" title="XXREAL_0:NR.3">&lt;</a>  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="prgcor_2.html#T2" target="_self" title="PRGCOR_2:th.2">Th2</a></i>;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c4">k</font> = <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 as   <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a> <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a></i>;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c5">Fb</font> =  <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> as    <a href="finseq_1.html#M2" title="FINSEQ_1:mode.2">FinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a>  ;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c6">Fa</font> =  <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font> as    <a href="finseq_1.html#M2" title="FINSEQ_1:mode.2">FinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a>  ;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c7">c2</font> = <font color="Maroon" title="c6">Fa</font> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <font color="Maroon" title="c5">Fb</font> as    <a href="finseq_1.html#M2" title="FINSEQ_1:mode.2">FinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a>  ;<br/>
<a NAME="E8:27"/><i><font color="Green" title="E21">A4</font></i>: 
 <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a></i>;<br/>
<a NAME="E9:27"/><i><font color="Green" title="E22">A5</font></i>: 
 <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a></i>;<br/>
<a NAME="E10:27"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E23">A6</font></i>: 
 <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E8:27"><i><font color="Green" title="E21">A4</font></i></a>, <a class="ref" href="euclid_2.html#T7" title="EUCLID_2:th.7">EUCLID_2:7</a></i>;<br/>
<a NAME="E11:27"/><b>then </b>
 <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K2" title="FINSEQ_1:func.2">Seg</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p2">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E8:27"><i><font color="Green" title="E21">A4</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E9:27"><i><font color="Green" title="E22">A5</font></i></a>, <a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E12:27"/><b>then </b>
 <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <span class="p1">(<span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p2">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E13:27"/><b>then </b>
 <a href="finseq_1.html#K2" title="FINSEQ_1:func.2">Seg</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E14:27"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E24">A7</font></i>: 
 <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c4">k</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E8:27"><i><font color="Green" title="E21">A4</font></i></a>, <a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c8">p</font> being   <a href="afinsq_1.html#NM2" title="AFINSQ_1:NM.2">XFinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a> <b> such that </b><br/><a NAME="E16:27"/><i><font color="Green" title="E25">A8</font></i>: 
(  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> &amp; <font color="Maroon" title="c8">p</font> <a href="prgcor_2.html#R1" title="PRGCOR_2:pred.1">is_an_xrep_of</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E14:27"><i><font color="Green" title="E24">A7</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#T7" target="_self" title="PRGCOR_2:th.7">Th7</a></i>;<br/>
<b>set </b><font color="Maroon" title="c9">p2</font> =  <a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span>;<br/>
<a NAME="E17:27"/><i><font color="Green" title="E26">A9</font></i>: 
 <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="afinsq_1.html#T48" title="AFINSQ_1:th.48">AFINSQ_1:48</a></i>;<br/>
<a NAME="E18:27"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">n</font> being  <a href="int_1.html#NM1" title="INT_1:NM.1">Integer</a> st <br/>( <span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; ( <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b2">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">n</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> ) )
 
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>reconsider </b><font color="Maroon" title="c10">n</font> = <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 as   <a href="int_1.html#NM1" title="INT_1:NM.1">Integer</a> <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E2:27_1"/><i><font color="Green" title="E27">A10</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c4">k</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b1">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c4">k</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> )
 
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_1_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_1_1_1"><b>now </b></a><div class="add"><b>assume </b><a NAME="E1:27_1_1_1"/>
<font color="Maroon" title="c4">k</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0
 ;<br/><b>thus </b><a NAME="E2:27_1_1_1"/>
for <font color="Olive" title="b1">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c4">k</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_1_1_1_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c11">i</font> be   <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>;<br/>

<a NAME="E1:27_1_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E28">A11</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="numbers.html#K5" title="NUMBERS:func.5">NAT</a> 
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="ordinal1.html#D13" title="ORDINAL1:def.13">ORDINAL1:def 13</a></i>;<br/>
<b>assume </b><a NAME="E2:27_1_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i>: 
( 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> &amp; <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c4">k</font> )
 ;<br/>

<a NAME="E3:27_1_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E30">A13</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c8">p</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E14:27"><i><font color="Green" title="E24">A7</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E16:27"><i><font color="Green" title="E25">A8</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D5" target="_self" title="PRGCOR_2:def.5">Def5</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E4:27_1_1_1_1"/>
<font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="finseq_1.html#K2" title="FINSEQ_1:func.2">Seg</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E9:27"><i><font color="Green" title="E22">A5</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E10:27"><i><font color="Green" title="E23">A6</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i></a>, <a class="ref" href="finseq_1.html#T3" title="FINSEQ_1:th.3">FINSEQ_1:3</a></i>;<br/>
<a NAME="E5:27_1_1_1_1"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E31">A14</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E6:27_1_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E32">A15</font></i>: 
<span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E7:27_1_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E33">A16</font></i>: 
<span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E8:27_1_1_1_1"/>
<span class="p1">(<span class="default"><span class="p2">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p2">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E6:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E32">A15</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E7:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E33">A16</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E5:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E31">A14</font></i></a>, <a class="ref" href="seq_1.html#D4" title="SEQ_1:def.4">SEQ_1:def 4</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E9:27_1_1_1_1"/>
<span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c11">i</font></span>)</span>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E28">A11</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E29">A12</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E3:27_1_1_1_1"><i><font color="Green" title="E30">A13</font></i></a>, <a class="ref" href="afinsq_1.html#T48" title="AFINSQ_1:th.48">AFINSQ_1:48</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div></div><b>end;</b></div>
<b>hence </b><a NAME="E2:27_1_1"/>
( <font color="Maroon" title="c4">k</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b1">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c4">k</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> )
 ;<br/>


</div><b>end;</b></div>
<a NAME="E3:27_1"/>
<span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E16:27"><i><font color="Green" title="E25">A8</font></i></a>, <a class="ref" href="afinsq_1.html#T48" title="AFINSQ_1:th.48">AFINSQ_1:48</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E4:27_1"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">n</font> being  <a href="int_1.html#NM1" title="INT_1:NM.1">Integer</a> st <br/>( <span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; ( <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b2">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">n</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p2">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span></span>)</span> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> ) )
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_1"><i><font color="Green" title="E27">A10</font></i></a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div>
<a NAME="E19:27"/><b>then </b>
<font color="Maroon" title="c3">m</font> <a href="prgcor_2.html#R5" title="PRGCOR_2:pred.5">vector_sub_prg</a>  <a href="afinsq_1.html#K11" title="AFINSQ_1:func.11">Replace</a> <font color="Maroon" title="c8">p</font>,0,<span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0</span>)</span>,<font color="Maroon" title="c1">a</font>,<font color="Maroon" title="c2">b</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E16:27"><i><font color="Green" title="E25">A8</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E17:27"><i><font color="Green" title="E26">A9</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D11" target="_self" title="PRGCOR_2:def.11">Def11</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E20:27"/>
 ex <font color="Olive" title="b1">c</font> being  <a href="afinsq_1.html#NM2" title="AFINSQ_1:NM.2">XFinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a>  st <font color="Maroon" title="c3">m</font> <a href="prgcor_2.html#R5" title="PRGCOR_2:pred.5">vector_sub_prg</a> <font color="Olive" title="b1">c</font>,<font color="Maroon" title="c1">a</font>,<font color="Maroon" title="c2">b</font>
 ;<br/>

<b>thus </b><a NAME="E21:27"/>
for <font color="Olive" title="b1">c</font> being non <a href="xboole_0.html#V1" title="XBOOLE_0:attr.1">empty</a> <a href="afinsq_1.html#NM2" title="AFINSQ_1:NM.2">XFinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a>   st <font color="Maroon" title="c3">m</font> <a href="prgcor_2.html#R5" title="PRGCOR_2:pred.5">vector_sub_prg</a> <font color="Olive" title="b1">c</font>,<font color="Maroon" title="c1">a</font>,<font color="Maroon" title="c2">b</font> holds <br/> <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Olive" title="b1">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_2"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c10">c</font> be  non <a href="xboole_0.html#V1" title="XBOOLE_0:attr.1">empty</a> <a href="afinsq_1.html#NM2" title="AFINSQ_1:NM.2">XFinSequence</a> of  <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a> ;<br/>

<b>assume </b><a NAME="E1:27_2"/><i><font color="Green" title="E27">A17</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c3">m</font> <a href="prgcor_2.html#R5" title="PRGCOR_2:pred.5">vector_sub_prg</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font>,<font color="Maroon" title="c1">a</font>,<font color="Maroon" title="c2">b</font>
 ;<br/>

<a NAME="E2:27_2"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E28">A18</font></i>: 
(  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> &amp;  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c3">m</font> &amp;  ex <font color="Olive" title="b1">n</font> being  <a href="int_1.html#NM1" title="INT_1:NM.1">Integer</a> st <br/>( <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; ( <font color="Olive" title="b1">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b2">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">n</font> holds <br/><font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b2">i</font></span>)</span> ) ) )
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="prgcor_2.html#D11" target="_self" title="PRGCOR_2:def.11">Def11</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon" title="c11">n</font> being   <a href="int_1.html#NM1" title="INT_1:NM.1">Integer</a><b> such that </b><br/><a NAME="E4:27_2"/><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i>: 
( <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; <font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 &amp; ( <font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 implies for <font color="Olive" title="b1">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c11">n</font> holds <br/><font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font></span>)</span> ) )
 <b>by </b><i><a class="ref" href="prgcor_2.html#D11" target="_self" title="PRGCOR_2:def.11">Def11</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_2"><i><font color="Green" title="E27">A17</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E5:27_2"/><i><font color="Green" title="E30">A20</font></i>: 
 <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_2"><i><font color="Green" title="E28">A18</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a></i>;<br/>
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_2_1"><b>now </b></a><div class="add"><div><a class="txt" onclick="hsNdiv(this)" href="javascript:()" title="27_2_1_1"><b>per </b></a><a class="txt" onclick="hs(this)" href="javascript:()"><b>cases </b></a><span class="hide"><a NAME="E1:27_2_1_1"/>
( <font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> 0 or <font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0 )
 </span>;<br/><div class="add"><div><a class="txt" onclick="hsNdiv(this)" href="javascript:()" title="27_2_1_1_1"><b>case </b></a><a NAME="E1:27_2_1_1_1"/><i><font color="Green" title="E31">A21</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> 0
 ;<br/><div class="add"><a NAME="E2:27_2_1_1_1"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E32">A22</font></i>: 
 <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K6" title="FINSEQ_1:func.6">&lt;*&gt;</a> <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a> 
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E3:27"><i><font color="Green" title="E20">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#T5" target="_self" title="PRGCOR_2:th.5">Th5</a></i>;<br/><a NAME="E3:27_2_1_1_1"/>
 <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a>  <a href="finseq_1.html#K6" title="FINSEQ_1:func.6">&lt;*&gt;</a> <a href="numbers.html#K1" title="NUMBERS:func.1">REAL</a> 
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E3:27"><i><font color="Green" title="E20">A3</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_2"><i><font color="Green" title="E28">A18</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_2_1_1_1"><i><font color="Green" title="E31">A21</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#T5" target="_self" title="PRGCOR_2:th.5">Th5</a></i>;<br/><b>hence </b><a NAME="E4:27_2_1_1_1"/>
 <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_2_1_1_1"><i><font color="Green" title="E32">A22</font></i></a>, <a class="ref" href="rvsum_1.html#T49" title="RVSUM_1:th.49">RVSUM_1:49</a></i>;<br/></div><b>end;</b></div><div><a class="txt" onclick="hsNdiv(this)" href="javascript:()" title="27_2_1_1_2"><b>case </b></a><a NAME="E1:27_2_1_1_2"/>
<font color="Maroon" title="c11">n</font> <a href="hidden.html#NR2" title="HIDDEN:NR.2">&lt;&gt;</a> 0
 ;<br/><div class="add"><b>set </b><font color="Maroon" title="c12">p3</font> =  <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font>;<br/><a NAME="E2:27_2_1_1_2"/>
for <font color="Olive" title="b1">k3</font> being   <a href="subset_1.html#M2" title="SUBSET_1:mode.2">Element</a> of  <a href="numbers.html#K5" title="NUMBERS:func.5">NAT</a>   st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">k3</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">k3</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a>  <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Olive" title="b1">k3</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Olive" title="b1">k3</font>
 <div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="27_2_1_1_2_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon" title="c13">k3</font> be    <a href="subset_1.html#M2" title="SUBSET_1:mode.2">Element</a> of  <a href="numbers.html#K5" title="NUMBERS:func.5">NAT</a> ;<br/>

<b>assume </b><a NAME="E1:27_2_1_1_2_1"/><i><font color="Green" title="E31">A23</font></i>: 
( 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> &amp; <font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a>  <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> )
 ;<br/>

<a NAME="E2:27_2_1_1_2_1"/><i><font color="Green" title="E32">A24</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> 0 <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="afinsq_1.html#K1" title="AFINSQ_1:func.1">len</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_2"><i><font color="Green" title="E28">A18</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#T1" target="_self" title="PRGCOR_2:th.1">Th1</a></i>;<br/>
<a NAME="E3:27_2_1_1_2_1"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E33">A25</font></i>: 
(  <a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c11">n</font> &amp; ( for <font color="Olive" title="b1">i</font> being  <a href="nat_1.html#NM1" title="NAT_1:NM.1">Nat</a>  st 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> &amp; <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c11">n</font> holds <br/><span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Olive" title="b1">i</font> ) )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a></i>;<br/>
<a NAME="E4:27_2_1_1_2_1"/><i><font color="Green" title="E34">A26</font></i>: 
( 1 <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> &amp; <font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="xxreal_0.html#R1" title="XXREAL_0:pred.1">&lt;=</a> <font color="Maroon" title="c11">n</font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E31">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E32">A24</font></i></a></i>;<br/>
<i><font color="Green" title="E35">A27</font></i>: <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> = 
<font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font>
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E31">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E3:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E33">A25</font></i></a></i>
<br/>.= 
<span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font></span>)</span> <a href="real_1.html#K5" title="REAL_1:func.5">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font></span>)</span>
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E31">A23</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E3:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E33">A25</font></i></a></i>
;<br/>
<a NAME="E6:27_2_1_1_2_1"/>
<font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="finseq_1.html#K2" title="FINSEQ_1:func.2">Seg</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="finseq_1.html#K3" title="FINSEQ_1:func.3">len</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font></span>)</span>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E14:27"><i><font color="Green" title="E24">A7</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E34">A26</font></i></a>, <a class="ref" href="finseq_1.html#T3" title="FINSEQ_1:th.3">FINSEQ_1:3</a></i>;<br/>
<a NAME="E7:27_2_1_1_2_1"/><b>then </b><i><font color="Green" title="E36">A28</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="hidden.html#R2" title="HIDDEN:pred.2">in</a>  <a href="finseq_1.html#K4" title="FINSEQ_1:func.4">dom</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font>
 
<b>by </b><i><a class="ref" href="finseq_1.html#D3" title="FINSEQ_1:def.3">FINSEQ_1:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E8:27_2_1_1_2_1"/><i><font color="Green" title="E37">A29</font></i>: 
<font color="Maroon" title="c1">a</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E34">A26</font></i></a></i>;<br/>
<a NAME="E9:27_2_1_1_2_1"/>
<font color="Maroon" title="c2">b</font> <a href="prgcor_2.html#K6" title="PRGCOR_2:func.6">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E1:27"><i><font color="Green" title="E18">A1</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E2:27"><i><font color="Green" title="E19">A2</font></i></a>, <a class="ref" href="prgcor_2.html#D4" target="_self" title="PRGCOR_2:def.4">Def4</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E34">A26</font></i></a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E10:27_2_1_1_2_1"/>
<span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font></span>)</span> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <font color="Maroon" title="c7">c2</font> <a href="seq_1.html#K2" title="SEQ_1:func.2">.</a> <font color="Maroon" title="c13">k3</font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E5:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E35">A27</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E7:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E36">A28</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E8:27_2_1_1_2_1"><i><font color="Green" title="E37">A29</font></i></a>, <a class="ref" href="seq_1.html#D4" title="SEQ_1:def.4">SEQ_1:def 4</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div><b>hence </b><a NAME="E3:27_2_1_1_2"/>
 <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="prgcor_2.html#E14:27"><i><font color="Green" title="E24">A7</font></i></a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E4:27_2"><i><font color="Green" title="E29">A19</font></i></a>, <a class="ref" href="finseq_1.html#T18" title="FINSEQ_1:th.18">FINSEQ_1:18</a>, <a class="txt" href="prgcor_2.html#E5:27_2"><i><font color="Green" title="E30">A20</font></i></a></i>;<br/></div><b>end;</b></div></div><b>end;</b></div></div><b>end;</b></div>
<b>hence </b><a NAME="E7:27_2"/>
 <a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c10">c</font> <a href="hidden.html#R1" title="HIDDEN:pred.1">=</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c1">a</font></span>)</span> <a href="rvsum_1.html#K8" title="RVSUM_1:func.8">-</a> <span class="p1">(<span class="default"><a href="prgcor_2.html#K4" title="PRGCOR_2:func.4">XFS2FS*</a> <font color="Maroon" title="c2">b</font></span>)</span>
 ;<br/>


</div><b>end;</b></div>


</div>
