<?xml version="1.0"?>
<div class="add">

<b>let </b><font color="Maroon">c<sub>1</sub></font> be   <a href="diraf.html#NM1">AffinSpace</a>;<br/><b>let </b><font color="Maroon">c<sub>2</sub></font>, <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font>, <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font>, <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> be   <a href="struct_0.html#NM2">Subset</a> of <font color="Maroon">c<sub>1</sub></font>;<br/>









<b>assume </b><b>that </b><br/><a NAME="E1:5"/><i><font color="Green">E5</font></i>: 
not <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font>
 <b>and </b><br/><a NAME="E2:5"/><i><font color="Green">E6</font></i>: 
( <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_4.html#R1">'||'</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_4.html#R1">'||'</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_4.html#R1">'||'</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_4.html#R1">'||'</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> )
 <b>and </b><br/><a NAME="E3:5"/><i><font color="Green">E7</font></i>: 
( <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#NR2" target="_self">is_line</a>  &amp; <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_1.html#NR2" target="_self">is_line</a>  &amp; <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> <a href="aff_4.html#NR1" target="_self">is_plane</a>  &amp; <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> <a href="aff_4.html#NR1" target="_self">is_plane</a>  )
 ;<br/>

<a NAME="E4:5"/><i><font color="Green">E8</font></i>: 
( <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> <a href="hidden.html#NR2" target="_self">&lt;&gt;</a>  <a href="xboole_0.html#K1">{}</a>  &amp; <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> <a href="hidden.html#NR2" target="_self">&lt;&gt;</a>  <a href="xboole_0.html#K1">{}</a>  )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:5"><i><font color="Green">E7</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T59">AFF_4:59</a></i>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon">c<sub>6</sub></font> being    <a href="subset_1.html#M1">Element</a> of <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font>;<br/>
<b>consider </b><font color="Maroon">c<sub>7</sub></font> being    <a href="subset_1.html#M1">Element</a> of <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font>;<br/>
<b>reconsider </b><font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> = <font color="Maroon">c<sub>6</sub></font>, <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> = <font color="Maroon">c<sub>7</sub></font> as   <a href="struct_0.html#NM1">Element</a> of <font color="Maroon">c<sub>1</sub></font> <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E4:5"><i><font color="Green">E8</font></i></a>, <a class="ref" href="tarski.html#D3">TARSKI:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E8:5"/>
( <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K3">+</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K3">+</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K3">+</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K3">+</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E2:5"><i><font color="Green">E6</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E3:5"><i><font color="Green">E7</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T68">AFF_4:68</a></i>;<br/>
<a NAME="E9:5"/><b>then </b><i><font color="Green">E9</font></i>: 
( <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="tarski.html#R1">c=</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:5"><i><font color="Green">E7</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E4:5"><i><font color="Green">E8</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T66">AFF_4:66</a></i>;<br/>
<a NAME="E10:5"/><i><font color="Green">E10</font></i>: 
( <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:5"><i><font color="Green">E7</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#D3">AFF_4:def 3</a></i>;<br/>
<a NAME="E11:5"/><i><font color="Green">E11</font></i>: 
not <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font>
 
<div><a class="txt" onclick="hs2(this)" href="javascript:()" title="5_1"><b>proof </b></a><div class="add">

<b>assume </b><a NAME="E1:5_1"/>
<font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font>
 ;<br/>

<a NAME="E2:5_1"/><b>then </b>
<font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font>
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E10:5"><i><font color="Green">E10</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58">AFF_1:58</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E3:5_1"/>
contradiction
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E1:5"><i><font color="Green">E5</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E10:5"><i><font color="Green">E10</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58">AFF_1:58</a></i>;<br/>


</div><b>end;</b></div>
<a NAME="E12:5"/>
( <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>2</sub></font> &amp; <font color="Maroon">c<sub>8</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> <a href="aff_1.html#R4">//</a> <font color="Maroon">c<sub>9</sub></font> <a href="aff_4.html#K2">*</a> <font color="Maroon">c<sub>3</sub></font> )
 
<b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E10:5"><i><font color="Green">E10</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_1.html#T58">AFF_1:58</a></i>;<br/>
<b>hence </b><a NAME="E13:5"/>
<font color="Maroon">c<sub>4</sub></font> <a href="aff_4.html#R1">'||'</a> <font color="Maroon">c<sub>5</sub></font>
 <b>by </b><i><a class="txt" href="afproj.html#E3:5"><i><font color="Green">E7</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E9:5"><i><font color="Green">E9</font></i></a>, <a class="txt" href="afproj.html#E11:5"><i><font color="Green">E11</font></i></a>, <a class="ref" href="aff_4.html#T55">AFF_4:55</a></i>;<br/>


</div>
